FPB dan KPK

A. Menggunakan Faktor Prima dan Faktorisasi Prima untuk Menentukan KPK dan FPB

1. Faktorisasi Prima dan Faktor Prima

· Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, 13

· Menentukan Faktorisasi Prima dan Faktor Prima

Latihan

1. 32 4. 42

2. 84 5. 135

3. 125

2. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Latihan 10

Tentukan FPB dan KPK dari bilangan berikut!

1. 12 dan 18 . 6. 36 dan 45

2. 25 dan 35 . 7. 60 dan 80

3. 14 dan 21 8. 75 dan 125

4. 28 dan 42 9. 64 dan 120

5. 54 dan 90 10. 72 dan 180

3. Pemecahan Masalah Berkaitan FPB dan KPK

Contoh :

1. Mila mempunyai 24 tangkai bunga melati dan 30 tangkai bunga mawar. Bunga-bunga tersebut akan ditata pada beberapa vas dengan jumlah yang sama. Berapa vas paling banyak yang dibutuhkan?

Penyelesaian:

Diketahui :

- Mila mempunyai 24 tangkai bunga melati dan 30 tangkai bunga mawar.

- Bunga-bunga tersebut akan ditata pada beberapa vas

Ditanya : Bunga-bunga tersebut akan ditata pada beberapa vas ?

Jawab :

24 : 2 x 2 x 2 x 3 FPB dari 24 dan 30 = 2 x 3 = 6

30 : 2 x 3 x 5

Jadi Vas terbanyak yang dibutuhkan adalah 6 buah

2. Mario latihan sepak bola setiap 6 hari sekali, Ivan latihan sepak bola setiap 8 hari sekali. Mereka mulai latihan sepak bola bersama-sama mulai tanggal 9 Agustus 2010. Berapa hari mereka latihan sepak bola bersama- sama lagi? Kapan?

Penyelesaian:

Diketahui :

- Mario latihan sepak bola setiap 6 hari dan Ivan setiap 8 hari.

- Mereka latihan sepak bola mulai tanggal 9 Agustus 2010.

Ditanya : Berapa hari mereka latihan sepak bola bersama- sama lagi? Kapan?

Jawab:

6 = 2 x 3

8 = 2 x 2 x 2 =

KPK dari 6 dan 8 = 2x 2x 2x 3 = 8 x 3= 24

Tgl. : 9 + 24 = 33

↔ 33 – 31 = 2

Ags Sept

Jadi Mereka bersama-sama latihan sepak bola 24 hari lagi. Pada tanggal 2 September 2010.

Latihan 11

1. Joni mempunyai 32 spidol berwarna kuning dan 56 spidol berwarna merah. Spidol tersebut akan dimasukkan ke dalam kotak dengan isi yang sama. Berapa kotak yang diperlukan? Berapa isi spidol berwarna kuning pada setiap kotaknya?

2. Rio mempunyai 12 kelereng berwarna biru dan 36 berwarna merah. Kelereng-kelereng tersebut akan dimasukkan ke dalam kaleng dengan isi yang sama setiap kalengnya. Berapa kaleng terbanyak yang diperlukan ? Berapa banyaknya kelereng warna biru dan merah pada setiap kalengnya?

3. Sinta ke perpustakaan setiap 4 hari dan Della setiap 10 hari. Mereka mulai ke perpustakaan bersama-sama pada tanggal 12 Agustus 2010. Kapan mereka bersama-sama lagi?

4. Ibu Cika ke pasar setiap 15 hari sekali dan Ibu Tania setiap 25 hari sekali. Mereka mulai ke pasar bersama-sama. Berapa hari lagi mereka ke pasar bersama-sama yang keduakalinya?

5. Ibu mempunyai 22 kue bolu dan 33 kue donat. Kue-kue tersebut disajikan dalam piring dengan jumlah yang sama. Berapa terbanyak piring yang harus disediakan? Berapa banyak kue bolu dan donat pada masing-masing piring?

6. Setiap 16 detik lampu hijau menyala lalu padam. Setiap 24 detik lampu kuning menyala lalu padam. Lampu-lampu tersebut mulai menyala bersama-sama. Setelah berapa detik kedua lampu itu menyala bersama-sama lagi?

7. Ibu Dessy mempunyai 21 buah jeruk dan 28 buah apel. Buah-buah tersebut ia bagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama. Berapa terbanyak anak yang mendapatkan jeruk dan apel? Berapa banyak jeruk dan apel yang didapatkan masing-masing anak?

8. Merry berangkat latihan menari setiap 9 hari sekali. Santi setiap 18 hari sekali. Mereka mulai latihan bersama-sama pada tanggal 15 Agustus 2010. Pada tanggal berapa mereka bersama-sama yang keempatkalinya?

9. Dinas pendidikan membagikan 250 buku tulis dan 350 pensil pada sejumlah SD. Buku tulis dan pensil itu dibagikan sama rata untuk setiap SD. Berapa jumlah SD yang menerima buku tulis dan pensil?

10. Setiap 40 detik lampu hijau menyala lalu padam. Setiap 60 detik lampu kuning menyala lalu padam. Lampu-lampu tersebut mulai menyala bersama-sama. Setelah berapa menit kedua lampu itu menyala bersama-sama lagi?

Let’s Practice

Solve the following word problem!

1. On, November 4, 2010, Brian and Machael went to the library. Brian goes to the library every 8 days. Machael goes every 12 days. When would Brian and Machael go to the library together again?

2. Gabby had 18 yellow and 24 blue marbles. How many pockets did he need to divide the yellow and blue marbles into the same number?

3. Lidia practices dancing every 9 days. Maria does it every 6 days. Tania does it every 4 days. On August 15, Lidia, Maria, and Tania practiced dancing together. When would they practice dancing together again?

4. Mr. John wanted to give presents to children in a charitable instution. Mr. John bought 20 pencils and 50 notebooks. How many children could get the same number of pencil and notebooks?

5. Audrey swims every 15 days. Karin swims every 25 days. When do Audrey and Karin swim in the same day?

Latihan ulangan

Latihan Ulangan

I. Pemahaman Konsep

1. Isilah dengan sifat operasi komutatif, asositatif atau distributif!

a. (36 + 45) + 55 = 36 + (45 + 55) ..................................................
b. 34 +23 + 66 = 23 + 34 + 66 ...................................................
c. -5 x ( 9 + 16 ) = (-5 x 9) + (-5 x 16) ...................................................
2. Negatif atau positif hasil dari 45 : (-9) + 150 : 50 !
3. Negatif atau positif hasil dari 425 + (-25) x 14 + (-5) !
4. Benarkah kalimat matematika di bawah ini!
a. 34 + 70 : (-2) – (-32) = 31
b. 15 x (- 7 + 12) – 45 = -138
c. 12 – 32 : 8 – (-11 x 6) = 74
5. Bulatkan 85 ke puluhan terdekat !
6. Bulatkan 1.246 ke ratusan terdekat !

II. Penalaran dan Komunikasi

Kerjakan dengan cara benar!

1. (-20) + 25 : (-5)
2. 5 – 72 : (-8) + 15
3. 12 x (-4 + 5) – (-14)
4. 16 – 12 : (-4) + 31
5. 16 + 16 : 4 – (-15)
6. 18 + ( 12 – 64 : 4)
7. 35 + 24 x 3 : (-8)
8. 32 + ( 17 – 2 x 9 + (-42 : (- 7))
9. 81 : (-9) + 15 x (- 4 )+ 65
10. 125 x 8 – ( 125 : (-25) + 200)

III. Pemecahan Masalah

Selesaikan soal cerita di bawah ini dengan benar!

1. Posisi titik A pada 8 di garis bilangan. Kemudian titik tersebut digeser ke kiri sebanyak 10 langkah . Selanjutnya digeser ke kanan 12 langkah. Berada pada posisi berapa titik A sekarang?
2. Suhu suatu tempat pada siang hari 28°C. Sedangkan pada malam hari 20°C. Berapa perbedaan suhu pada siang dan malam hari di tempat tersebut?
3. Pak Tino mempunyai uang 5 lembar lima puluh ribuan. Uang tersebut digunakan untuk membeli buku sebanyak Rp 275.000,00. Sisa atau kurangkah uang Pak Tino? Berapa rupiah sisa atau kekurangannya?
4. Pesawat terbang berada 118 meter di atas permukaan laut. Sedangkan kapal selam berapa 36 meter di bawah permukaan laut. Berapa meter jarak pesawat terbang dan kapal selam teresut?
5. Daftar Harga di Koperasi
Jenis Barang
Harga Satuan
Buku tulis Rp 3.500,00
Pensil Rp 2.250,00
Bolpoin Rp 3.500,00
PenggarisRp 4.500,00
Gebby membeli 10 buku, 5 pensil, dan 2 bolpoin. Ia membawa Rp 100.000,00. Sisa atau kurangkah uang Gabby? Berapa rupiah sisa atau kekurangannya?

Pembulatan, penaksiran, operasi hitung campuran

A. Pembulatan bilangan dalam puluhan dan ratusan terdekat

Jika kalian ingin melakukan pembulatan bilangan perlu diperhatikan:

· Pada pembulatan ke puluhan terdekat:

Jika satuan kurang dari 5, maka lakukan pembulatan ke bawah

Jika satuan lebih atau sama dengan 5 maka lakukan pembulatan ke atas

Contoh:

1. 73 dibulatkan kepuluhan terdekat menjadi 70

2. 85 dibulatkan kepuluhan terdekat menjadi 90

3. 45 dibulatkan kepuluhan terdekat menjadi 50

· Pada pembulatan ke ratusan terdekat:

Jika ratusan kurang dari 5, maka lakukan pembulatan ke bawah

Jika ratusan lebih atau sama dengan 5 maka lakukan pembulatan ke atas

Contoh:

1. 163 dibulatkan ratusan terdekat menjadi 200

2. 255 dibulatkan ratusan terdekat menjadi 300

3. 149 dibulatkan ratusan terdekat menjadi 100

Latihan 5

1. Bulatkan ke puluhan terdekat!

a. 134

b. 5.456

c. -24

d. -335

e. 575

2. Bulatkan ke ratusan terdekat!

a. 251

b. -467

c. 1.562

d. 349

e. 1.473

B. Penaksiran hasil operasi hitung dua bilangan

Contoh:

1. Taksirkan ke puluhan terdekat dari 79 + 12!

Bulatkan masing-masing bilangan ke puluhan terdekat kemudian jumlahkan!

79 menjadi 80

12 menjadi 10

80 + 10 = 90, Jadi 79+ 12 kira-kira 90

2. Taksikan ke ratusan terdekat dari 2.571 + 245!

Bulatkan masing-masing bilangan ke ratusan terdekat kemudian jumlahkan!

2.571 menjadi 2.570

245 menjadi 200

2.600 + 200 = 2.800, Jadi 2.571 + 245 kira-kira 2.800

3. Taksirkan ke puluhan terdekat dari 92 x 3!

Bulatkan 92 ke puluhan terdekaty, yaitu 90.Kemudian kalikan 3.

90 x 3 = 270. Jadi 92 x 3 kira-kira 270

Latihan 6

1. Taksirkan hasil operasi hitung di bawah ini ke puluhan terdekat!

a. 24 + 35

b. 67 + 91

c. -82 + 56

d. -48 x 8

e. 75 + 43

2. Taksirkan hasil operasi hitung di bawah ini ke ratusan terdekat!

a. 1.424 + 529

b. 572 – 235

c. -375 x 6

d. 4.274 x 5

e. 8.942 – (-438)

C. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

Untuk melakukan operasi hitung campuran, perhatikan berikut ini:

a. Penjumlahan (+) dan pengurangan (-) sama kuat, artinya operasi hitung yang di depan atau di kiri dekerjakan lebih dulu.

b. Perkalian (x) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi hitung yang di depan atau di kiri dekerjakan lebih dulu.

c. Perkalian (x) dan pembagian (:) lebih kuat daripada penjumlahan (+) dan pengurangan (-) artinya perkalian (x) dan pembagian (:) dikerjkan lebih dulu daripada penjumlahan (+) dan pengurangan (-).

d. Jika terdapat operasi hitung di dalam kurung maka operasi hitung di dalam kurung dikerjakan terlebih dulu.

Contoh:

1. 15 + 3 x 8 + 5 – 7 = 15 + 24 + 5 – 8 (Perkalian dikerjakan dulu: 3 x 8 =24)

= 39 + 5 – 8

= 44 – 8

= 36

2. 125 : (-25) + (40 – (-21)) + 5 = 125 : 25 + 61 + 5 (Dalam kurung dikerjakan dulu: 40 – (- 21) = 61)

= -5 + 61 + 5 (Pembagian dikerjakan dulu: 125 : (-25) = -5)

= 61

Latihan 7

Kerjakan menggunakan cara yang benar!

1. 25 : (-5) + 26 11. -15 + 20 – (-155)

2. 4 + (-15) x 5 12. -16 x 4 -72

3. (-28) + 72 : (-9) 13. 120 – (72 + 8 : 4)

4. 16 x 4 – (-150 + 120) 14. 150 – 18 x 5 + (-10)

5. (18 – (-122)) + 12 x 5 15. 200 : 8 + 14 x (-5)

6. 48 – 16 : 4 + (165 x2) 16. 450 x 2 : 18 + (-50)

7. (-50) - 25 : 5 – 425 17. 420 : 7 – (-150)

8. 225 : 15 x 4 + (-5 x 25) 18. 500 x 2 : 8 + 64

9. ( 250 – 50) : (24 : 3) + 626 19. 24 x (-4) + 15 : 3

10. 21 : (-3) + 12 x 4 + 17 20. 48 : 6 – 19 + (-12)

D. Pemecahan Masalah yang Melibatkan Bilangan Bulat

Contoh:

1. Kedalaman laut mencapai 15 meter di bawah permukaan laut. Sedangkan tinggi gunung berada di 245 meter di atas permukaan laut. Berapa jarak puncak gunung dan dasar laut tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui :

- Kedalaman laut 15 meter di bawah permukaan laut.

- Tinggi gunung 245 meter di atas permukaan laut.

Ditanya : Berapa jarak puncak gunung dan dasar laut?

Jawab :

245 – (-15) = 245 + 15 = 260

Jadi : Jarak puncak gunung dan dasar laut adalah 260 meter

2. Andi membawa uang 4 lembar ratus ribuan. Ia ingin membeli sepatu seharga Rp 200.000,00 dan tas seharga Rp 250.000,00.

a. Berapa rupiah kekurangannya?

b. Bagaimana jika kekuranganya di tulis dengan bilangan negatif?

Diketahui :

- Uang Andi 4 lembar ratus ribuan.

- Harga sepatu Rp 200.000,00

- Harga tas Rp 250.000,00.

Ditanya : Berapa jarak puncak gunung dan dasar laut?

Jawab :

4 x 100.000 –( 200.000 + 250.000) =400.000 – 450.000 = -50.000

Jadi: a. Kekurangannya Rp 50.000,00

b. Jikakekurangan ditulis dengan bilangan negatif adalah -50.000

Latihan 8

1. Ayah membeli kamera seharga Rp 2.500.000,00. Karena dibayar secara kredit selama 10 bulan, dikenakan bunga Rp 500.000,00. Berapa rupiah ia harus mengangsur setiap bulan?

2. Seekor burung terbang di atas 8 meter permukaan laut, sedangkan ikan berada 5 meter di bawah permukaan laut. Berapa meter jarak antara burung dan ikan tersebut?

3. Posisi titik A pada -6 di garis bilangan. Kemudian titik tersebut digeser ke kanan sebanyak 6 langkah . Selanjutnya digeser ke kiri 14 langkah. Berada pada posisi berapa titik A sekarang?

4. Kedalaman laut mencapai 25 meter di bawah permukaan laut. Sedangkan tinggi gunung berada di 201 meter di atas permukaan laut. Berapa jarak puncak gunung dan dasar laut tersebut?

5. Pak Tomo mempunyai uang 40 lembar lima ribuan. Uang tersebut digunakan untuk membeli buku sebanyak Rp 175.000,00. Apakah sisa uang tersebut? Jika sisa berapa rupiah?

6. Pesawat terbang berada 125 meter. Sedangkan kapal selam berapa 25 meter di bawah permukaan laut. Berapa meter jarak pesawat terbang dan kapal selam teresut?

7. Daftar Harga di Koperasi

Jenis Barang	Buku tulis	Pensil	Bolpoin	Penggaris
Harga Satuan	Rp 2.500,00	Rp 1.250,00	Rp 4.000,00	Rp 3.500,00

Lintang membeli 5 buku, 3 pensil, dan 2 bolpoin. Ia membawa Rp 50.000,00. Berapa rupiah sisa uang Lintang?

8. Jarak tempat A sampai tempat B 35 meter. Dery berlari menempuh jarak sebanyak 5 kali. Berapa jarak yang ditempuh Dery jika digabung?

9. Penumpang kereta api terdiri dari 8 gerbon. Setiap Gerbong berisi 1.232 orang. Berangkat dari stasiun Senin, Jakarta. Di stasiun Kutoarjo turun penumpang sebanyak 4.500 orang. Kemudian melanjutkan perjalanan ke Jogja. Berapa penumpang yang sampai stasiun Tugu, Jogja?

10. Titik B pada -6 di garis bilangan. Kemudian titik tersebut digeser ke kiri sebanyak 12 langkah . Selanjutnya digeser ke kanan 17 langkah. Berada pada posisi berapa titik B sekarang?